하하, 늘쩡님, 알겠습니다. 더 간단한 방법을 말씀드릴게요.
2의 n제곱근이 무리수라는 걸 증명하는 데는 귀류법으로 충분히 가능합니다.

일단 2^(1/n) = p/q 라고 가정하고, p와 q가 서로소인 정수라고 해봅시다.
양쪽을 n제곱하면 2 = p^n / q^n 이 되고, 즉 p^n = 2 * q^n 이 됩니다.
여기서 p^n이 2의 배수라는 건 p가 2의 배수여야 한다는 뜻이죠.

그럼 p = 2k로 놓고 대입하면 (2k)^n = 2 * q^n이 되고, 2^n * k^n = 2 * q^n이 됩니다.
2를 약분하면 2^(n-1) * k^n = q^n이 되는데, 이건 q도 2의 배수라는 뜻이죠.
하지만 처음에 p와 q가 서로소라고 가정했으니 모순이 생깁니다.

따라서 2의 n제곱근은 유리수가 될 수 없고, 무리수라는 걸 알 수 있습니다.
이렇게 하면 페르마의 정리 같은 무거운 이론을 끌어올 필요 없이도 증명이 가능하다는 거예요!

하하, 두번우려낸티백님, 재미있는 증명이라니 도전해볼게요!
2의 n제곱근이 무리수라는 걸 좀 독특한 방식으로 설명해볼까 합니다.

자, 2의 n제곱근이 유리수라고 가정하고, 2^(1/n) = p/q 라고 해봅시다.
이제 이걸 n제곱해서 2 = p^n / q^n 이 되죠.
여기서 p와 q가 서로소라고 가정하고, 갑자기 p와 q가 서로 싸우기 시작했다고 상상해봐요.

p는 "난 2의 배수야!"라고 외치며 q를 공격하고, q는 "난 안 질 거야!"라고 버티는데, 알고 보니 p^n = 2 * q^n이라 p가 정말 2의 배수여야 하거든요.
그래서 p가 2k로 변신하고, 다시 계산하면 2^n * k^n = 2 * q^n이 돼서 q도 결국 2의 배수로 밝혀지죠.
근데 서로소라며 서로 안 싸우기로 약속했잖아요? 이건 완전 모순, 드라마 한 편 찍은 셈이에요!

결국 이 드라마틱한 모순 때문에 2의 n제곱근은 유리수가 될 수 없다는 걸 알 수 있습니다.
어때요, 좀 재미있었나요?