- 질문 게시판입니다.
Date 25/05/19 17:36:50
Name   아침커피
Subject   무한 제곱근 속에 있는 변수의 값을 구할 때의 판별식(?)
제곱근을 편의상 sqrt() 라고 쓰겠습니다.
예를 들어 이렇게 제곱근 속에 제곱근이 무한히 있을 경우 한번 제곱해준 다음에 다음과 같이 풀어주면 된다는 것을 알겠습니다.

(1) 시작:
sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = 3

(2) 양쪽을 제곱해주면:
x + sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = 9

(3) 그런데 sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = 3 이니까
x + 3 = 9

(4) 따라서
x = 6

이건 알겠는데요, 이렇게 풀 수 있는 제한조건이 있을 것 같은데 그게 뭔지를 모르겠습니다.
예를 들어서 위의 맨 처음 식에서 오른쪽의 3만 1로 바꿔보았는데 그랬더니 이상한 결과가 나옵니다.

(1) 시작:
sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = 1

(2) 양쪽을 제곱해주면:
x + sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = 1

(3) 그런데 sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = 1 이니까
x + 1 = 1

(4) 따라서
x = 0
???
x = 0 이면 sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) 는 당연히 0일텐데???

그래서... 질문을 요약하면 다음과 같습니다.
(1) 뭔가 이런 방법으로 답을 구할 수 있는 경우가 한정되어있을 것 같은데, 그 조건이 어떻게 될까요? 질문을 쓰다 보니 지금 순간 든 생각이, 아마 x > sqrt(x) 라는 조건이 충족될 때에만 저런 식으로 답을 구할 수 있을 것 같은데 맞는지 모르겠네요.
(2) sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = 3 에서 x = 6이라고 구한 답은 맞는 답이기는 한가요? =_=


답변에 미리 감사드립니다.



0


효모 루덴스수정됨
구하신 답은 맞구요. 제한조건은 x >= -1/4 이기만 하면 됩니다.

(4)에서 말씀하신 [x = 0 이면 sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) 는 당연히 0일텐데???]의 직관이 (표준해석학 입장에서는) 틀렸습니다.

sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = y 로 두면,

y^2 - y + x = 0이고 y입장에서 이차방정식의 근의 공식을 적용하면

y = (1 + sqrt(1 + 4x))/2 이므로

표준해석학 입장... 더 보기
구하신 답은 맞구요. 제한조건은 x >= -1/4 이기만 하면 됩니다.

(4)에서 말씀하신 [x = 0 이면 sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) 는 당연히 0일텐데???]의 직관이 (표준해석학 입장에서는) 틀렸습니다.

sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = y 로 두면,

y^2 - y + x = 0이고 y입장에서 이차방정식의 근의 공식을 적용하면

y = (1 + sqrt(1 + 4x))/2 이므로

표준해석학 입장에서 sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = 1일 때 x = 0으로 [지정]하는 것이 자연스럽습니다.

(생각해보니 analytic continuation까지 갈 필요도 없군요 ㅎㅎ)
4
오 감사합니다! 이차방정식 형태로 바꿔서 푸는 방법이 있군요! 수학이 항상 그렇듯 궁금증 하나가 해결되니 다른 궁금증이 더 생기는데요 ㅋㅋㅋ
(1) x >= -1/4 라는 조건은 어떻게 해서 생겨나는 것인가요? -> 음 이건 글을 쓰다 보니 위 판별식에서 루트 안의 값이 음수가 되지 않는 조건이군요 ㅎㅎ
(2) 그리고 표준해석학에서는 sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = 1일 때 x = 0으로 지정하는 것이 자연스럽다고 하셨는데, 이 경우에 대해 수학의 다른 분야에서는 이 x의 값을 다른 값으로 정하는 경우도 있는지,
(3) 마지막으로 수학 전공하시는 분들 중에서도 저처럼 '아니 왜 sqrt(0 + sqrt(0 + sqrt(0 + ...))) 이 0이 아니고 1이지 ㅠㅠ' 하며 이것이 직관적이지 않다고 생각하는 경우도 있는지 궁금합니다.
효모 루덴스
간단한 예를 하나 들어보겠습니다.

y = (x^2 - 1)/(x - 1) 이라는 함수가 있습니다.

이 함수는 x = 1에서는 정의되지 않지요. 왜냐하면 분모를 0으로 만드니까요.

그리고 x가 1이 아닐 때는 y = x + 1과 정확하게 같은 함수입니다.

자 그렇다면 함수 y = (x^2 - 1)/(x - 1) 에다가 x = 1에서의 함숫값을 굳이 [지정]해주고 싶다면 무엇으로 하는 것이 [자연]스러울까요?

생각하시는 [2]가 답이 맞습니다. 왜냐하면 2가 이 ... 더 보기
간단한 예를 하나 들어보겠습니다.

y = (x^2 - 1)/(x - 1) 이라는 함수가 있습니다.

이 함수는 x = 1에서는 정의되지 않지요. 왜냐하면 분모를 0으로 만드니까요.

그리고 x가 1이 아닐 때는 y = x + 1과 정확하게 같은 함수입니다.

자 그렇다면 함수 y = (x^2 - 1)/(x - 1) 에다가 x = 1에서의 함숫값을 굳이 [지정]해주고 싶다면 무엇으로 하는 것이 [자연]스러울까요?

생각하시는 [2]가 답이 맞습니다. 왜냐하면 2가 이 함수를 [연속함수]가 되게 해주니까요.

물론 2 말고 다른 값으로 지정해도 아무런 문제가 없습니다. 단지 그렇게 하면 연속함수가 되지 않지요.

(이건 어려운 얘긴데 2로 지정하지 않아도 y = (x^2 - 1)/(x - 1) 과 y = x + 1는 [almost everywhere] 같은 함수입니다. 참고: https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_everywhere)

여기서 자연스럽다는 것은 그렇게 해야 연속함수로서 의미가 있다는 뜻입니다. ㅎㅎ

다른 분야를 떠나서 연속함수를 다루는 것이 쉬우니까 그렇게 지정하는 것이라 보시면 됩니다. :)
아침커피
감사합니다~!
다마고
근의 공식에서 x=0조차도 왜 한 근만 취하는지 궁금합니다. y=0인 경우는 안 된다는 말씀으로 이해했는데요.
효모 루덴스
위와 같은 이유입니다.

결국 y = (1 - sqrt(1 + 4x))/2 를 택하지 않느냐 말씀이신데, x > 0 일 때는 y가 음수가 되니 부자연스러운 상황이 발생하죠.
1
다마고
-1/4와 0 사이에선 정의가 잘 되는 줄 알았는데 아닌가 보군요. 잘 알겠습니다.
효모 루덴스
응? 제가 혹시 선생님의 질문을 잘못 이해한 것인지… ㅎㅎㅎ

x >= -1/4 에서는 정의가 잘 됩니다. 선생님 질문은 y의 값을 말씀하신게 아닌가요?
1
다마고

x=0이면 y=0과 y=1 모두 해당되지 않느냐는 질문이었습니다. 질문이 서툴러 죄송합니다.

제가 생각한 그림을 챗지피티에게 부탁했습니다.
효모 루덴스
아, 제가 이해한 것이 맞네요 ㅎㅎ

일대일이어야 하니 x 하나, y 하나가 정해져야 하죠.

x = 0일 때 y를 1로 택하지 않고 0을 택한다면 불연속이 되죠.

다른 x들에서의 함수가 y = (1 [+] sqrt(1 + 4x))/2인데

x = 0에서만 y = (1 [-] sqrt(1 + 4x))/2를 택한다는 것은 부자연스럽다는 말입니다. :)
1
다마고
알겠습니다. 그럼 y=0일 때 해는 없는 거겠군요.
효모 루덴스
네, (실수 상에서는) 해가 없는 걸로 이해하시는게 맞습니다.

그런데 복소수로 확장한다면 있을지 없을지 잘 모르겠네요 ㅎㅎㅎ
1
다마고
네, 알겠습니다. 감사합니다.
아침커피
자세히 설명해주신 것에 다시한번 감사드립니다. 좀 지난 질문입니다만 궁금한 게 생겨서 추가로 댓글을 달게 되었습니다. 다음과 같은 수열을 생각해 보았는데요.
a_0 = sqrt(0),
a_1 = sqrt(0 + sqrt(a_0))
a_k = sqrt(0 + sqrt(a_(k-1)))
이러면 lim(k->inf) a_k 가 본문의 sqrt(0 + sqrt(0+ sqrt(0 + ...)))이 되는데요, 수학적 귀납법을 쓰면 모든 k에 대해서 a_k가 0임이 증명이 되더라고요.

그래서, 위 식이 x가 0인 점에서는 불연... 더 보기
자세히 설명해주신 것에 다시한번 감사드립니다. 좀 지난 질문입니다만 궁금한 게 생겨서 추가로 댓글을 달게 되었습니다. 다음과 같은 수열을 생각해 보았는데요.
a_0 = sqrt(0),
a_1 = sqrt(0 + sqrt(a_0))
a_k = sqrt(0 + sqrt(a_(k-1)))
이러면 lim(k->inf) a_k 가 본문의 sqrt(0 + sqrt(0+ sqrt(0 + ...)))이 되는데요, 수학적 귀납법을 쓰면 모든 k에 대해서 a_k가 0임이 증명이 되더라고요.

그래서, 위 식이 x가 0인 점에서는 불연속인 것이 아닌가 하는 생각이 들었습니다. 저는 해석학은 모르지만 수학적 귀납법을 써 보면 0이 답인 것 같아서요... 혹시 x=0일 때는 본문의 식이 불연속이고 답이 0일 수 있을까요? 만약 아니라면 (즉 답이 1이라면) 수학적 귀납법의 결과를 배제해야 하는 이유가 무엇이 될지도 궁금합니다.
효모 루덴스
일단 의도하신 점화식의 표현이 a_k = sqrt(0 + sqrt(a_(k-1))) 이 아니라 [a_k = sqrt(0 + a_(k-1))] 인 것 같네요 ㅎㅎ

제가 위에서 답변을 잘못한 것이 있긴 하군요. ㅎㅎ

선생님 말씀대로 초항인 a_0를 0으로 셋팅하면 0이 되는게 맞습니다.

하지만 분문의 선생님의 질문은 초기 항을 셋팅한 것이 아니라 결과를 먼저 생각한 것이죠. [sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = 1]

sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) =... 더 보기
일단 의도하신 점화식의 표현이 a_k = sqrt(0 + sqrt(a_(k-1))) 이 아니라 [a_k = sqrt(0 + a_(k-1))] 인 것 같네요 ㅎㅎ

제가 위에서 답변을 잘못한 것이 있긴 하군요. ㅎㅎ

선생님 말씀대로 초항인 a_0를 0으로 셋팅하면 0이 되는게 맞습니다.

하지만 분문의 선생님의 질문은 초기 항을 셋팅한 것이 아니라 결과를 먼저 생각한 것이죠. [sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = 1]

sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = 1 식에서 어울리는 x가 무엇이냐에 대한 질문을 하신 겁니다.

점화식 [a_k = sqrt(0 + a_(k-1))] 에서 k를 무한대로 보내면 X = sqrt(0 + X)의 해가 무엇이냐의 질문이 되죠. 아시다시피 X는 0 또는 1 입니다.

본문의 sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = 3 에서 x = 6 으로 답할 때 sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = 1 에 대한 (연속성을 유지시켜주는) 답이 0보다는 1이 어울린다는 말입니다.

더 엄밀하고 깊게 말씀드리면 [sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...)))]라는 무한 표현을 사용한 것 자체가 수학적으로 모호한 표현(= 좋지 않은 표현 = 쓰면 안되는 표현)입니다.

그래서 sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x + ...))) = 1의 대답이 관점에 따라 0이 될 수도 있고 1이 될 수도 있다는 것이죠.

아래 영상을 한 번 참고해보시지요. 무한 표현이 왜 좋지 않은 것인지에 대한 답을 알 수 있을 것입니다. :)

https://www.youtube.com/watch?v=mDPv7vGmWos
[지식in] 해석학적 역설들
아침커피
감사합니다!
송파사랑
겨스님 나오십시오
매뉴물있뉴

지피티에게 물어봤더니 그래프가 요렇다고...??
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dolmusa
신비한 무한의 세계~
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