퇴직금은 4대보험 취득일과는 관계 없이 근로계약서를 작성한 날로 1년 기준으로 보시면 됩니다.
그러나 근로계약서 작성이 되지 않았으니 본인이 1년 이상 근무했다는 증빙만 있다면(회사 급여 이체 내역이라던가.. 출근기록부 등등) 회사에서 주지 않는다 하여도 노동부에 신고하면 퇴직금은 받을 수 있을것입니다.
말씀하신 빨간날이 토/일 또는 근로자의날이 아니라 개천절/크리스마스 등의 법정공휴일이라면 기본적으로 회사내규에 따르는게 맞습니다.(연차로 대체하여 쉬는 회사도 많습니다)
연차는 설명드리자면 길지만 간단하게만 말씀드리자면 1년 미만 근로자는 첫 1년간 1개월을 개근하였을시 1개를 사용할 수 있는데 이 부분은 이후 1년이 되었을 때 생기는 15개에서 차감됩니다. 이부분과 상관없이 안주는 부분이면 문제가 있는게 맞습니다.
근로계약서 미작성과 급여명세서를 요청했음에도 주지 않는건 문제가 좀 되는부분이 맞구요.

다른 댓글에 있는 내용 약간 수정하자면 실업급여 받을수 있는 요건은 고용보험료를 6개월 이상 납부할것과 본인의 의사와 상관없이 퇴직할것 입니다.
스스로 그만두면 실업급여는 받을 수 없습니다. 그리고 실업급여는 최대 및 최소금액이 있고 최대든 최소든 100만원과 150만원 사이가 됩니다(정확한 금액은 기억이..)